Question

5．已知各項都不相等的等差數(shù)列{a_n}，a₆=6，又a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列性質列出方程組，求出首項和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=2ⁿ+2n，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵各項都不相等的等差數(shù)列{a_n}，a₆=6，又a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{6}={a}_{1}+5d=6}\\{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）}\\{d≠0}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）∵b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=2ⁿ+2n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+2（1+2+3+…+n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2×$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ⁺¹-2+n²+n．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．