如圖,已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB, PC的中點(diǎn)

(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:EF⊥CD;    
(3)若ÐPDA=45°,求EF與平面ABCD所成的角的大。

(1)∵ABCD是矩形,取PB的中點(diǎn)為G,連GF,GE,證得平面GEF//平面PAD,EF∥平面PAD。(2)證明△PAE≌△CBE,得出EF⊥PC。又CD⊥GE證得CD⊥平面GEF,推出EF⊥CD。
(3)EF與面ABCD所成的角為45°。

解析試題分析:(1)∵ABCD是矩形,取PB的中點(diǎn)為G,連GF,GE,由三角形中位線(xiàn)定理,知GF//BC//AD,GE//PA,又GE與GF交于G,PA與AD交于A,所以平面GEF//平面PAD,EF∥平面PAD。

(2)∵ABCD是矩形,∴CB=AD、∠CBE=90°、BC⊥CD。
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PAE=90°。
∵PA=AD、CB=AD,∴PA=CB,又AE=BE、∠PAE=∠CBE=90°,∴△PAE≌△CBE,
∴CE=PE,而F∈PC且PF=CF,∴EF⊥PC。
∵G、F分別是PB、PC的中點(diǎn),∴GF是△PBC的中位線(xiàn),∴GF∥BC,而B(niǎo)C⊥CD,
∴CD⊥GF。
∵G、E分別是PB、AB的中點(diǎn),∴GE是△BPA的中位線(xiàn),∴GE∥PA,而PA⊥平面ABCD,
∴GE⊥平面ABCD,∴CD⊥GE。
由CD⊥GF、CD⊥GE、GF∩GF=G,∴CD⊥平面GEF,∴EF⊥CD。
(3)過(guò)F作FO⊥AC交AC于O。
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AC,PA⊥EO,得:FO∥PA,F(xiàn)O⊥EO,AO=CO。
由PF=CF,F(xiàn)O∥PA,得:FO=PA。
由AE=BE,AO=CO,得:EO=BC。
由PA⊥面ABCD,F(xiàn)O∥PA,得:FO⊥面ABCD,∴∠FEO就是EF與面ABCD所成的角。
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,∴PA=AD,結(jié)合證得的FO=PA,
得:FO=AD。
∵ABCD是矩形,∴AD=BC,結(jié)合證得的EO=BC,得:EO= AD。
由FO=AD,EO=AD,F(xiàn)O⊥EO,得:∠FEO=45°。
即:EF與面ABCD所成的角為45°。
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系,角的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng):中檔題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟,利用向量則能簡(jiǎn)化證明過(guò)程。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖,三棱柱中,
,的中點(diǎn),且

(1)求證:∥平面;
(2)求與平面所成角的大小.

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直三棱柱中,,分別為、的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:平面
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如圖,四棱錐的底面是正方形,⊥底面,點(diǎn)在棱上.

(1)求證:平面⊥平面;
(2)當(dāng)的中點(diǎn)時(shí),求與平面所成角的正弦值.

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如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,且,,側(cè)面底面. 若.

(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)側(cè)棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,指出點(diǎn) 的位置并證明,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.

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如圖,已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=

(1)求證:平面EAB⊥平面ABCD
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(I )證明:平面PBC丄平面PAC
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(1)求的值;
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