Question

6．已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sin²B=sinAsinC．
（1）若$a=\sqrt{2}b$，求cosA；
（2）若B=60°，且$a=\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)sin²B=sinAsinC．利用正弦定理可得b²=ac，$a=\sqrt{2}b$，根據(jù)余弦定理可求cosA；
（2）由b²=ac，B=60°，且$a=\sqrt{3}$，余弦定理求出c的值，即可求△ABC的面積．

解答 解：（1）∵sin²B=sinAsinC．
由正弦定理可得b²=ac，
$a=\sqrt{2}b$，
∴b=$\sqrt{2}c$，即a=2c．
余弦定理，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（2）由題意，b²=ac，B=60°，且$a=\sqrt{3}$，
余弦定理：cosB=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
∴${c}^{2}-2\sqrt{3}c+3=0$，
解得：c=$\sqrt{3}$．
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理的運(yùn)用和計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題．