Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=

1

2

AA₁，∠BAC=90°，D為棱BB₁的中點(diǎn)
（Ⅰ）求異面直線C₁D與A₁C所成的角；
（Ⅱ）求證：平面A₁DC⊥平面ADC．

Answer 1

分析：解法一：在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺中，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁媯�草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可．設(shè)AB=a，則A₁（0，0，2a），C（0，a，0），C₁（0，a，2a），D（a，0，a）
（Ⅰ）

C1D

=（a，-a，-a），

A1C

=（0，a，-2a）
（Ⅱ）又∵

A1D

=（a，0，-a），

AC

=（0，a，0），∴

A1D

⊥

AD

，

A1D

⊥

AC

，∴A₁D⊥平面ACD
解法二：
（Ⅰ）求異面直線所成的角，可用幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認(rèn)定再計(jì)算”，即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，結(jié)合余弦定理來求．連接AC₁交A₁C于點(diǎn)E，取AD中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥C₁D，∴直線EF與A₁C所成的角就是異面直線C₁D與A₁C所成的角．
（Ⅱ）欲證平面A₁DC⊥平面ADC，先證直線與平面垂直，由題意可得：AC⊥A₁D，AD⊥A₁D，∴A₁D⊥平面ACD，又A₁D?平面A₁CD，∴平面A₁DC⊥平面ADC

解答：解：解法一：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AB=a，
則A₁（0，0，2a），C（0，a，0），C₁（0，a，2a），D（a，0，a）（2分）
于是

C1D

=（a，-a，-a），

A1C

=（0，a，-2a）
∵cos＜

C1D

，

A1C

＞=

C1D • A1C

| C1D ||  A1C |

=

0-a2+2a2

3 a• 5 a

=

15

15

，（6分）
∴異面直線C₁D與A₁C所成的角為arccos

15

15

（7分）
（Ⅱ）∵

A1D

=（a，0，-a），

AC

=（0，a，0），
∴

A1D

•

AD

=a²+0-a²=0，

A1D

•

AC

=0（10分）
則

A1D

⊥

AD

，

A1D

⊥

AC

∴A₁D⊥平面ACD（12分）
又A₁D?平面A₁CD，
∴平面A₁DC⊥平面ADC（14分）
解法二：
（Ⅰ）連接AC₁交A₁C于點(diǎn)E，取AD中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥C₁D
∴直線EF與A₁C所成的角就是異面直線C₁D與A₁C所成的角（2分）
設(shè)AB=a，
則C₁D=

C1B12+B1D2

=

3

a，
A₁C=

AC2+ AA12

=

5

a，AD=

AB2+BD2

=

2

a．
△CEF中，CE=

1

2

A₁C=

5

2

a，EF=

1

2

C₁D=

3

2

a，
直三棱柱中，∠BAC=90°，則AD⊥AC（4分）
CF=

AC2+AF2

=

a2+( 2 a 2 )2

=

6

2

a（4分）
∵cos∠CEF=

CE2+EF2-CF2

2CE•EF

=

5 4 a2+ 3 4 a2- 3 2 a2

2• 5 2 a• 3 2 a

=

15

15

，（6分）
∴異面直線C₁D與A₁C所成的角為arccos

15

15

（7分）
（Ⅱ）直三棱柱中，∠BAC=90°，∴AC⊥平面ABB₁A₁，則AC⊥A₁D（9分）
又AD=

2

a，A₁D=

2

a，AA₁=2a，
則AD²+A₁D²=AA₁²，于是AD⊥A₁D（12分）
∴A₁D⊥平面ACD又A₁D?平面A₁CD，
∴平面A₁DC⊥平面ADC（14分）

點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面關(guān)系、二面角的度量，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．