Question

3．如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點(diǎn)E在CC₁上且C₁E=3EC．
（1）求證：A₁C⊥平面BED；
（2）求三棱錐A₁-BED的體積．

Answer 1

分析 （1）法一（幾何法）：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)F，則BD⊥AC，BD⊥A₁C．在平面A₁CA內(nèi)，連結(jié)EF交A₁C于點(diǎn)G，推導(dǎo)出A₁C⊥EF．由此能證明A₁C⊥平面BED．
法二（向量法）：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A₁C⊥平面BED．
（2）求出cos＜$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DB}$＞，從而得到sin＜$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{DB}$＞，進(jìn)而求出S_△DBE，再由A₁C⊥平面BED，能求出三棱錐A₁-BED的體積．

解答 證明：（1）證法一（幾何法）：
依題設(shè)知AB=2，CE=1．
連結(jié)AC交BD于點(diǎn)F，則BD⊥AC．
由三垂線定理知，BD⊥A₁C．在平面A₁CA內(nèi)，連結(jié)EF交A₁C于點(diǎn)G，
由于$\frac{{A}_{1}A}{FC}$=$\frac{AC}{CE}$=2$\sqrt{2}$，
故Rt△A₁AC∽R(shí)t△FCE，∠AA₁C=∠CFE，
∠CFE與∠FCA₁互余．于是A₁C⊥EF．
A₁C與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直，
∴A₁C⊥平面BED．
證法二（向量法）：
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（2，0，4），C（0，2，0），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{DE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{DE}$=0+4-4=0，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{DB}$=-4+4+0=0，
∴A₁C⊥DE，A₁C⊥DB，
又DE∩DB=D，∴A₁C⊥平面BED．
解：（2）cos＜$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DB}$＞=$\frac{|\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴sin＜$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{DB}$＞=$\sqrt{1-\frac{10}{25}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{DB}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{{A}_{1}C}$|=$\sqrt{4+4+16}$=2$\sqrt{6}$，
∴${S}_{△DBE}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{15}}{5}$=3$\sqrt{2}$，
∵A₁C⊥平面BED，
∴三棱錐A₁-BED的體積V=$\frac{1}{3}×|{A}_{1}C|×{S}_{△DBE}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{6}×3\sqrt{2}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．