Question

設函數(shù)f（x）=

x

ex

（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-f′（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關于x的不等式|lnx|≤f（x）+c有解，求實數(shù)c的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,指、對數(shù)不等式的解法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=

1

ex

-

x

ex

，從而得g（x）=f（x）-f′（x）=2

x

ex

-

1

ex

；再求導，由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）不等式|lnx|≤f（x）+c可化為c≥|lnx|-

x

ex

；從而化為函數(shù)y=|lnx|-

x

ex

的最值問題．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

ex

-

x

ex

，
故g（x）=f（x）-f′（x）=2

x

ex

-

1

ex

；
g′（x）=

3-2x

ex

；
故當x＜

3

2

時，g′（x）＞0；當x＞

3

2

時，g′（x）＜0；
故函數(shù)g（x）=f（x）-f′（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，

3

2

）；
單調(diào)減區(qū)間為（

3

2

，+∞）；
（2）不等式|lnx|≤f（x）+c可化為
c≥|lnx|-

x

ex

；
結(jié)合（1）及函數(shù)的四則運算知y=|lnx|-

x

ex

在（0，1）上是減函數(shù)，
在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故lnx|-

x

ex

≥0-

1

e

；
故c≥-

1

e

；
故實數(shù)c的最小值為-

1

e

．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．