Question

如圖，一個(gè)小球從M處投入，通過管道自上而下落A或B或C．已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動(dòng)，若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為l，2，3等獎(jiǎng)．
（I）已知獲得l，2，3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50%，70%，90%．記隨變量ξ為獲得k（k=1，2，3）等獎(jiǎng)的折扣率，求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望Εξ；
（II）若有3人次（投入l球?yàn)閘人次）參加促銷活動(dòng)，記隨機(jī)變量η為獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的人次，求P（η=2）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）解：由題意知隨變量ξ為獲得k等獎(jiǎng)的折扣，則ξ的可能取值是50%，70%，90%，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式寫出變量的分布列，做出期望．
（2）根據(jù)第一問可以得到獲得一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的概率，根據(jù)小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的．可以把獲得一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的人次看做符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式得到結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）解：隨變量量ξ為獲得k（k=1，2，3）等獎(jiǎng)的折扣，則ξ的可能取值是50%，70%，90%
P（ξ=50%）=，P（ξ=70%）=，P（ξ=90%）=
∴ξ的分布列為

∴Εξ=×50%+×70%+90%=．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的概率為+=．
由題意得η～（3，）
則P（η=2）=C₃²（）²（1-）=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、二項(xiàng)分布等概念，同時(shí)考查抽象概括、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，是一個(gè)綜合題．