Question

19、如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中點(diǎn)，求證：A₁C∥平面BDE．

Answer 1

分析：欲證A₁C∥平面BED，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A₁C與平面BED內(nèi)一直線平行即可，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO，根據(jù)中位線可知EO∥A₁C，而EO?平面BED，A₁C?平面BED，滿足定理所需條件．

解答：證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接AC交BD于
點(diǎn)O，連接EO，則有O為AC的中點(diǎn)，
又E是的AA₁的中點(diǎn)，∴EO△A₁AC為的中位線，
∴EO∥A₁C，∵EO?平面BED，A₁C?平面BED，
∴A₁C∥平面BED．

點(diǎn)評(píng)：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無(wú)公共點(diǎn)）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．