Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（1）記b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）當(dāng)q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）時(shí)，記A_n=C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n，求

lim

n→∞

An

2n

的值．

Answer 1

分析：（1）先整理出所給的遞推式，向要求的數(shù)列表現(xiàn)形式方向整理，結(jié)果發(fā)現(xiàn)要求數(shù)列的表達(dá)式，數(shù)列后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，利用等比數(shù)列的定義，證得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）由（1）所得的結(jié)論，寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，仿寫(xiě)一系列式子，用疊加的方法得到通項(xiàng)的表示式，在表示式中出現(xiàn)等比數(shù)列的求和，一定要注意的是，公比與1的關(guān)系．
（3）先求A_n=C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，利用二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)，注意到公比的范圍，從而求極限．

解答：解：（1）由a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1得a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=qb_n-1（n≥2）（2分）
又a₁=1，a₂=2，所以b₁=a₂-a₁=1，又q≠0．
所以{b_n}是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列．（4分）b_n=q^n-1（5分）
注：在證明中若從b_n=qb_n-1（n≥2）得出{b_n}是等比數(shù)列扣（1分）．
（2）由b_n=a_n+1-a_n及b_n=q^n-1得a_n+1-a_n=q^n-1（6分）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=q^n-2+q^n-3+…+q+1+（18分）
當(dāng)q=1時(shí)a_n=n（9分）
當(dāng)q≠1時(shí)an=

1-qn-1

1-q

+1（10分）
（3）由q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）知an=

1-qn-1

1-q

+1=

2-q

1-q

+

qn-1

q-1

An= C 1 n a1+ C 2 n a2+…+ C n n an = 2-q 1-q ( C 1 n + C 2 n +…+ C n n )+ 1 q-1 ( C 1 n q0+ C 2 n q1+…+ C n n qn-1)

=

2-q

1-q

(2n-1)+

1

q(q-1)

[(1+q)n-1]（13分）

An

2n

=

q-2

q-1

(1-

1

2n

)+

1

q(q-1)

[(

1+q

2

)n-

1

2n

]
因?yàn)閝∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1），所以-2＜q+1＜2⇒-1＜

q+1

2

＜1
則

lim

n→∞

(

1+q

2

)n=0，又

lim

n→∞

1

2n

=0
所以

lim

n→∞

An

2n

=

lim

n→∞

{

q-2

q-1

(1-

1

2n

)+

1

q(q-1)

[(

1+q

2

)n-

1

2n

]}=

q-2

q-1

（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列的極限，主要考查考查證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的方法是利用等比數(shù)列的定義；利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式時(shí)，一定注意公比為1時(shí)要分類討論．考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．考查數(shù)列的極限的求法．