Question

4．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{a_n}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{b_n}，可以推測(cè)：b₂₀₁₇是數(shù)列{a_n}中的第5044項(xiàng)．

Answer 1

分析 由題設(shè)條件及圖可得出a_n+1=a_n+（n+1），由此遞推式可以得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為，a_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），由此可列舉出三角形數(shù)1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，從而可歸納出可被5整除的三角形數(shù)每五個(gè)數(shù)中出現(xiàn)兩個(gè)，即每五個(gè)數(shù)分為一組，則該組的后兩個(gè)數(shù)可被5整除，由此規(guī)律即可求出b₂₀₁₇在數(shù)列{a_n}中的位置．

解答 解：
由前四組可以推知a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
從而b₁=a₄=10，b₂=a₅=15，b₃=a₉=45，b₄=a₁₀=55，
依次可知，當(dāng)n=4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…時(shí)，
由此知可被5整除的三角形數(shù)每五個(gè)數(shù)中出現(xiàn)兩個(gè)，即每五個(gè)數(shù)分為一組，則該組的后兩個(gè)數(shù)可被5整除，
由于b₂₀₁₇是第2017個(gè)可被5整除的數(shù)，
故它出現(xiàn)在數(shù)列{a_n}按五個(gè)一段分組的第1008組的第4個(gè)數(shù)字，
由此知，b₂₀₁₇是數(shù)列{a_n}中的第1008×5+4=5044個(gè)數(shù)．
故答案為：5044

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的表示及歸納推理，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)得出相鄰兩個(gè)三角形數(shù)的遞推關(guān)系，由此列舉出三角形數(shù)，得出結(jié)論“被5整除的三角形數(shù)每五個(gè)數(shù)中出現(xiàn)兩個(gè)，即每五個(gè)數(shù)分為一組，則該組的后兩個(gè)數(shù)可被5整除”，本題綜合性強(qiáng)，有一定的探究性，是高考的重點(diǎn)題型，解答時(shí)要注意總結(jié)其中的規(guī)律．