已知橢圓Γ：（a＞b＞0）過點A（0，2），離心率為，過點A的直線l與橢圓交于另一點M．
（I）求橢圓Γ的方程；
（II）是否存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓Γ的右焦點F且與直線 x-2y-2=0相切？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）由點A（0，2）可得b值，由離心率為可得=，再由a2=b2+c2，聯(lián)立方程組即可求得a，b值；
（II）假設存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓后的右焦點F且與直線x-2y-2=0相切，根據(jù)以AM為直徑的圓C過點F可得∠AFM=90°，求出直線MF方程，聯(lián)立直線MF方程與橢圓方程可得求得M坐標，利用直線與圓相切的條件d=r分情況驗證圓與直線x-2y-2=0相切即可；
解答：解：（Ⅰ）依題意得，解得，
所以所求的橢圓方程為；
（Ⅱ）假設存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓后的右焦點F且與直線x-2y-2=0相切，
因為以AM為直徑的圓C過點F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，
又=-1，所以直線MF的方程為y=x-2，
由消去y，得3x2-8x=0，解得x=0或x=，
所以M（0，-2）或M（，），
（1）當M為（0，-2）時，以AM為直徑的圓C為：x2+y2=4，
則圓心C到直線x-2y-2=0的距離為d==≠，
所以圓C與直線x-2y-2=0不相切；
（2）當M為（，）時，以AM為直徑的圓心C為（），半徑為r===，
所以圓心C到直線x-2y-2=0的距離為d==r，
所以圓心C與直線x-2y-2=0相切，此時kAF=，所以直線l的方程為y=-+2，即x+2y-4=0，
綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為x+2y-4=0．
點評：本題考直線與圓錐曲線的關系、橢圓方程的求解，考查直線與圓的位置關系，考查分類討論思想，解決探究型問題，往往先假設存在，由此推理，若符合題意，則存在，否則不存在．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點F1，O為坐標原點，點P在橢圓上，點Q在橢圓的右準線上，若
PQ
=2
F1O
，
F1Q
=λ(
F1P
|
F1P
|
+
F1O
|
F1O
|
)(λ＞0)則橢圓的離心率為（　�。�
A、
1
2
B、
3
2
C、
5
-1
2
D、
5
+1
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點為F，點E(
a2
c
，0)在x軸上，若橢圓的離心率e=
2
2
，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若過F的直線交橢圓于A，B兩點，且
OA
+
OB
與向量
m
=(4，-
2
)共線（其中O為坐標原點），求證：
OA
與
OB
的夾角為
π
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長為4，且點(1，
3
2
)在該橢圓上．
（1）求橢圓的方程．
（2）過橢圓右焦點的直線l交橢圓于A、B兩點，若∠AOB是直角，其中O是坐標原點，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，與直線x+y-1=0相交于A，B兩點，且OA⊥OB，為坐標原點．
（Ⅰ）求
1
a2
+
1
b2
的值；
（Ⅱ）若橢圓長軸長的取值范圍是[
5
，
6
]，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右準線分別為l1、l2，且分 別交x軸于C、D兩點，從l1上一點A發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點F被x軸反射后與l2交于點B，若AF⊥BF且∠CAB=105°，則橢圓的離心率等于（　�。�
A、
6
-
2
2
B、
3
-1
C、
6
-
2
4
D、
3
-1
2

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