Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=2|x+1|+|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜5的解集；
（2）設(shè)g（x）=kx，若f（x）≥g（x）恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論x的范圍，去絕對(duì)值符號(hào)解不等式；
（2）令h（x）=f（x）-g（x），判斷h（x）的單調(diào)性，得出h（x）在各段上的最小值，列出不等式組得出k的范圍．

解答 解：（1）若x≥3，f（x）=2x+2+x-3=3x-1＜5，解得x＜2，舍去，
若-1＜x＜3，f（x）=2x+2-x+3=x+5＜5，解得x＜0，∴-1＜x＜0，
若x≤-1，f（x）=-2x-2-x+3=-3x+1＜5，解得x＞-$\frac{4}{3}$，∴-$\frac{4}{3}$＜x≤-1．
綜上，不等式的解集是（-$\frac{4}{3}$，0）．
（2）令h（x）=f（x）-kx，則h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3-k）x-1，x≥3}\\{（1-k）x+5，-1＜x＜3}\\{（-3-k）x+1，x≤-1}\end{array}\right.$，
則h（x）≥0恒成立，
若k＞3，則h（x）在[3，+∞）上是減函數(shù)，顯然不符合題意；
若k=3，則h（x）在[3，+∞）上恒為-1，不符合題意；
若k＜-3時(shí)，h（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，不符合題意；
若1＜k＜3，則h（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，3）上單調(diào)遞減，在（-∞，-1]上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3（3-k）-1≥0}\\{3（1-k）+5≥0}\\{-1（-3-k）+1≥0}\end{array}\right.$，解得1＜k≤$\frac{8}{3}$．
若-3＜k＜1，在h（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，3）上單調(diào)遞增，在（-∞，-1]上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3（3-k）-1≥0}\\{-（1-k）+5≥0}\\{3+k+1≥0}\end{array}\right.$，解得-4≤k$≤\frac{8}{3}$，∴-3＜k＜1，
當(dāng)k=1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證h（x）≥0成立，
當(dāng)k=-3時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證h（x）≥0成立，
綜上，-3≤k≤$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)恒成立問(wèn)題與函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．