Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-2．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)y=f（x）的兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），證明：x₁+x₂＞2a．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-f（2a-x），（0＜x＜a），利用導(dǎo)函數(shù)判斷h（x）的單調(diào)性，得出h（x）≥0，進(jìn)而得出f（x）≥f（2a-x），利用單調(diào)性得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-2，（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
a≤0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
（2）證明：由①可知0＜x₁＜a，x₂＞a，
f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
設(shè)h（x）=f（x）-f（2a-x）   0＜x＜a，
∴h（x）=ln$\frac{x}{2a-x}$+$\frac{a}{x}$-$\frac{a}{2a-x}$，（0＜x＜a），
h′（x）=$\frac{2a-x}{x}$•$\frac{2a}{{（2a-x）}^{2}}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{{（2a-x）}^{2}}$=-$\frac{4{a（x-a）}^{2}}{{[x（2a-x）]}^{2}}$＜0，
∴h（x）在（0，a）遞減，
∴h（x）＞h（a）=0，
∴f（x）＞f（2a-x），
由x₁∈（0，1），
∴f（x₁）=f（x₂）＞f（2a-x₁），
而x₂＞a，2a-x₁＞a，f（x）在（a，+∞）遞增，
∴x₂＞2a-x₁，即x₁+x₂＞2a，
∴原不等式成立．

點評 考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，難點是函數(shù)的構(gòu)造，難度較大．