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已知函數f（x）=x|x+2|-2x-1
（1）用分段函數的形式表示該函數；
（2）畫出該函數的圖象；
（3）寫出函數的單調區(qū)間．

解：（1）∵當x≥-2時，f（x）=x|x+2|-2x-1=x（x+2）-2x-1=x2-1；
當x＜-2時，f（x）=x|x+2|-2x-1=x（-x-2）-2x-1=-x2-4x-1
∴函數用分段函數的形式表示為f（x）=…
（2）∵當x≥-2時，f（x）=x2-1，
函數圖象是拋物線y=x2-1位于直線x=-2右側部分；
當x＜-2時，f（x）=-x2-4x-1，
函數圖象是拋物線y=-x2-4x-1位于直線x=-2左側部分
∴函數y=f（x）圖象由拋物線y=x2-1位于x=-2右側部分與拋物線
y=-x2-4x-1位于x=-2左側部分拼接而成，
因此作出函數y=f（x）圖象，如圖右圖所示…
（3）由（2）所作的函數圖象，可得
函數f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，-2）和（0，+∞）
單調減區(qū)間是（-2，0）…
分析：（1）根據絕對值的定義，分x≥-2與x＜-2兩種情況加以討論，分別化簡函數的表達式，再綜上所述即可得到函數f（x）用分段函數的形式表示的式子；
（2）根據f（x）用分段函數的形式表示的式子，可得它的圖象是由兩個二次函數的圖象各取一部分拼接而成，由此結合二次函數的圖象作法，即可作出函數y=f（x）的圖象；
（3）由（2）作出的圖象加以觀察，即可寫出函數y=f（x）的單調區(qū)間．
點評：本題給出含有絕對值符號的函數，求作函數的圖象并寫出函數的單調區(qū)間，著重考查了絕對值的意義、函數的單調性和二次函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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