如圖,已知曲線,曲線
,P是平面上一點,若存在過點P的直線與
都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”.
(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設(shè)直線與
有公共點,求證
,進而證明原點不是“C1—C2型點”;
(3)求證:圓內(nèi)的點都不是“C1—C2型點”.
(1) C1的左焦點為“C1-C2型點”,且直線可以為;
(2)直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點,即原點不是“C1-C2型點”.
(3)直線若與圓
內(nèi)有交點,則不可能同時與曲線C1和C2有交點,
即圓內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”.
【解析】
試題分析:
思路分析:(1)緊扣“C1-C2型點”的定義,確定C1的左焦點為“C1-C2型點”,且直線可以為;
(2)通過研究直線與C2有交點的條件,分別得到
和
,不可能同時成立,得到結(jié)論:直線
至多與曲線C1和C2中的一條有交點,即原點不是“C1-C2型點”.
(3)顯然過圓內(nèi)一點的直線
若與曲線C1有交點,則斜率必存在;
根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點
,則
根據(jù)直線與圓
內(nèi)部有交點,得到
化簡得,............①
再根據(jù)直線與曲線C1有交點, 由方程組
化簡得,.....②
由①②得,
但此時,因為,即①式不成立;
當時,①式也不成立 ,得出結(jié)論。
解:(1)C1的左焦點為,過F的直線
與C1交于
,與C2交于
,故C1的左焦點為“C1-C2型點”,且直線可以為
;
(2)直線與C2有交點,
則,若方程組有解,則必須
;
直線與C2有交點,則
,若方程組有解,則必須
故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點,即原點不是“C1-C2型點”.
(3)顯然過圓內(nèi)一點的直線
若與曲線C1有交點,則斜率必存在;
根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點
,則
直線與圓
內(nèi)部有交點,故
化簡得,............①
若直線與曲線C1有交點,則
化簡得,.....②
由①②得,
但此時,因為,即①式不成立;
當時,①式也不成立
綜上,直線若與圓
內(nèi)有交點,則不可能同時與曲線C1和C2有交點,
即圓內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”.
考點:新定義問題,直線與圓的位置關(guān)系,直線與雙曲線的位置關(guān)系,一元二次不等式的解法。
點評:難題,本題綜合性較強,綜合考查直線與圓、雙曲線的位置關(guān)系以及不等式問題。從思路方面講,要緊扣“C1-C2型點”的定義,研究方程組解的情況。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 |
3 |
A、
| ||
B、
| ||
C、2 | ||
D、
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 |
x |
4 |
9 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
7 | 9 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:0103 模擬題 題型:解答題
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