Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{|x-1|}$，g（x）=1+kcosx，則f（x）的值域是[2，+∞），若對(duì)任意的x₁，x₂∈R，均有f（x₁）≥g（x₂），則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行分解求解即可得函數(shù)的值域，根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題即可得到結(jié)論．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{|x-1|}$=$\frac{（x-1）^{2}+2（x-1）+4}{|x-1|}$=|x-1|+$\frac{2（x-1）}{|x-1|}$+$\frac{4}{|x-1|}$，
若x＞1，則f（x）=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+2=4+2=6，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{4}{x-1}$，即x-1=2，x=3時(shí)取等號(hào)，
若x＜1，則f（x）=-（x-1）-$\frac{4}{x-1}$-2=1-x+$\frac{4}{1-x}$-2≥2$\sqrt{（1-x）•\frac{4}{1-x}}$-2=4-2=2，當(dāng)且僅當(dāng)-（x-1）=-$\frac{4}{x-1}$，即1-x=2，x=-1時(shí)取等號(hào)，
綜上f（x）≥2，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2，+∞），
若對(duì)任意的x₁，x₂∈R，均有f（x₁）≥g（x₂），
則等價(jià)為f（x）_min≥g（x）_max，
即2≥g（x）恒成立，
即2≥1+kcosx，即kcosx≤1，
若k=0，不等式成立，
若k＞0，則不等式等價(jià)為cosx≤$\frac{1}{k}$，
即1≤$\frac{1}{k}$，則0＜k≤1，
若k＜0，則不等式等價(jià)為cosx≥$\frac{1}{k}$，
即-1≥$\frac{1}{k}$，則-1≤k＜0，
綜上-1≤k≤1，
故答案為：[2，+∞），[-1，1]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解以及函數(shù)最值的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．