Question

15．在極坐標(biāo)系中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點O為坐標(biāo)原點，極軸為x的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy
（Ⅰ）求C₁和C₂的參數(shù)方程
（Ⅱ）已知射線l₁：θ=α（0$＜α＜\frac{π}{2}$），將l₁逆時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{6}$得到l₂；θ=$α+\frac{π}{6}$，且l₁與C₁交于O，P兩點，l₂與C₂交于O，Q兩點，求|OP|•|OQ|取得最大值時點P的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，分別求出C₁和C₂的參數(shù)方程即可；
（Ⅱ）設(shè)出P，Q的極坐標(biāo)，表示出|OP|•|OQ|的表達式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出P的極坐標(biāo)即可．

解答 解：（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4
所以C₁參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}\right.\;（α$為參數(shù)）．…（3分）
曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-2）²=4．
所以C₂參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosβ}\\{y=2+2sinβ}\end{array}}\right.\;（β$為參數(shù)）    …（6分）
（Ⅱ）設(shè)點P極坐標(biāo)為（ρ₁，α），即ρ₁=4cosα，
點Q極坐標(biāo)為$（{ρ_2}，\;α+\frac{π}{6}）$，即${ρ_2}=4sin（α+\frac{π}{6}）$．…（8分）
則$|{OP}|•|{OQ}|={ρ_1}{ρ_2}=4cosα•4sin（α+\frac{π}{6}）$
=$16cosα•（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα）$=$8sin（2α+\frac{π}{6}）+4$…（10分）
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）\;.\;∴2α+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\;\frac{7π}{6}）$，
當(dāng)$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}\;，\;\;α=\frac{π}{6}$時|OP|•|OQ|取最大值，
此時P點的極坐標(biāo)為$（2\sqrt{3}\;，\frac{π}{6}）$．…（12分）

點評 本題考查了坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．