Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)（直線與軸不重合）．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：；

（3）求面積最大時(shí)的直線的方程．

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)證明；(3)

【解析】

（1）由已知得到直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線l的方程為x＝ty+1，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式即可證明k1+k2＝0；

（3）△AF1B的面積S|F1F2||y1﹣y2|＝|y1﹣y2|．把（2）中的根與系數(shù)的關(guān)系代入，可得S．設(shè)函數(shù)f（x）＝9x （x≥1），利用導(dǎo)數(shù)可得f（x）＝9x在[1，+∞）上單調(diào)遞增，得到當(dāng)t2+1＝1，即t＝0時(shí)，9（t2+1）取最小值10．由此可得直線l的方程為x＝1．

（1）因?yàn)橹本�經(jīng)過(guò)點(diǎn)， ，

所以直線的方程為．

由解得或

所以．

（2）因?yàn)橹本�與軸不重合，故可設(shè)直線的方程為．

設(shè)，．

由/span>得，

所以， ，

因?yàn)?/span>，在直線上，所以， ，

所以， ，

從而 ．

因?yàn)?/span>，

所以．

（3）方法一：的面積 .

由（2）知， ， ，

故

，

設(shè)函數(shù)．

因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)，即時(shí)，取最小值10．

即當(dāng)時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)直線的方程為．

方法二：的面積 ．

由（2）知， ， ，

故

，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，即時(shí)，的面積取最大值．

因此，的面積取最大值時(shí)，直線的方程為．