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對任意正實數a、b，則
a+b
a2+b2
的取值范圍為
(1，
2
]
(1，
2
]
．
分析：由已知可得2（a2+b2）≥（a+b）2＞a2+b2，即可得出答案．
解答：解：∵a＞0，b＞0，∴2（a2+b2）≥（a+b）2＞a2+b2，
∴1＜
a+b
a2+b2
≤
2
，當且僅當a=b＞0時取等號．
因此
a+b
a2+b2
的取值范圍是(1，
2
]．
 故答案為(1，
2
]．
點評：充分理解基本不等式及其變形是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（理科做）
閱讀下面題目的解法，再根據要求解決后面的問題．
閱讀題目：對于任意實數a1，a2，b1，b2，證明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
證明：構造函數f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
（其中等號成立當且僅當a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
問題：（1）請用這個不等式證明：對任意正實數a，b，x，y，不等式
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
成立．
（2）用（1）中的不等式求函數y=
2
x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值，并指出此時x的值．
（3）根據閱讀題目的證明，將不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）進行推廣，得到一個更一般的不等式，并用構造函數的方法對你的推廣進行證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若不等式b2+（a+b）2≥
λ
2
a2對任意正實數a、b都成立，則λ的最大值是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（理科做）
閱讀下面題目的解法，再根據要求解決后面的問題．
閱讀題目：對于任意實數a1，a2，b1，b2，證明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
證明：構造函數f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
（其中等號成立當且僅當a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
問題：（1）請用這個不等式證明：對任意正實數a，b，x，y，不等式數學公式成立．
（2）用（1）中的不等式求函數數學公式的最小值，并指出此時x的值．
（3）根據閱讀題目的證明，將不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）進行推廣，得到一個更一般的不等式，并用構造函數的方法對你的推廣進行證明．

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科目：高中數學 來源：2010年四川省成都七中高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

若不等式b2+（a+b）2≥對任意正實數a、b都成立，則λ的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5

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