Question

11．某公司做了用戶對(duì)其產(chǎn)品満意度的問(wèn)卷調(diào)查，隨機(jī)抽取了20名用戶的評(píng)分，得到圖所示莖葉圖，對(duì)不低于75的評(píng)分，認(rèn)為用戶對(duì)產(chǎn)品滿意，否則，認(rèn)為不滿意
（1）根據(jù)以上資料完成下面的2×2列聯(lián)表，若據(jù)此數(shù)據(jù)算得K²=3.7781，則在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)5%的前提下，你是否認(rèn)為“満意”與“否”與性別有有關(guān)？
附：

	不滿意	滿意	合計(jì)
男		4	7
女
合計(jì)

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

（2）以此“滿意”的頻率作為概率，求在3人中恰有2人滿意的概率；
（3）從以上男性用戶中抽取2人，女性用戶中抽取1人，其中滿意的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）完成2×2列聯(lián)表，求出K²≈3.7781＜3.841，從而得到在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)5%的前提下，不能認(rèn)為“満意”與“否”與性別有有關(guān)．
（2）由頻率估計(jì)“滿意”的概率為$\frac{6}{20}$=0.3，由此能求出在3人中恰有2人滿意的概率．
（3）ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）根據(jù)已知資料完成2×2列聯(lián)表：

	不滿意	滿意	合計(jì)
男	3	4	7
女	11	2	13
合計(jì)	14	6	20

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

∵K²≈3.7781＜3.841，
∴在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)5%的前提下，不能認(rèn)為“満意”與“否”與性別有有關(guān)．
（2）由頻率估計(jì)“滿意”的概率為$\frac{6}{20}$=0.3，
∴在3人中恰有2人滿意的概率為${C}_{3}^{2}•0．{3}^{2}×（1-0.3）=0.189$．
（3）ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{11}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{11}{91}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{11}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{46}{91}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{4}{91}$，
P（ξ=2）=1-$\frac{11}{91}-\frac{46}{91}-\frac{4}{91}$=$\frac{30}{91}$．
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{11}{91}$	$\frac{46}{91}$	$\frac{30}{91}$	$\frac{4}{91}$

Eξ=$0×\frac{11}{91}+1×\frac{46}{91}+2×\frac{30}{91}+3×\frac{4}{91}$=$\frac{118}{91}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．