Question

1．在2015年8月世界杯女排比賽中，中國(guó)女排以11戰(zhàn)10勝1負(fù)的驕人戰(zhàn)績(jī)獲得冠軍．世界杯女排比賽，采取5局3勝制，即每場(chǎng)比賽中，最先獲勝3局的隊(duì)該場(chǎng)比賽獲勝，比賽結(jié)束，每場(chǎng)比賽最多進(jìn)行5局比賽．比賽的積分規(guī)則是：3-0或者3-1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；3-2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分．在本屆世界杯中，中國(guó)隊(duì)與美國(guó)隊(duì)在第三輪相遇，根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，中國(guó)隊(duì)與美國(guó)隊(duì)的每局比賽中，中國(guó)隊(duì)獲勝的概率為$\frac{2}{3}$．
（1）在中國(guó)隊(duì)先輸一局的情況下，中國(guó)隊(duì)本場(chǎng)比賽獲勝的概率是多少？
（2）試求中國(guó)隊(duì)與美國(guó)隊(duì)比賽中，中國(guó)隊(duì)獲得積分的分布列與期望．

Answer 1

分析 （1）在中國(guó)隊(duì)先輸一局的情況下，中國(guó)隊(duì)本場(chǎng)比賽獲勝的可能性有兩種：連勝3局或前3局兩勝1負(fù)，第五局勝，由此能求出在中國(guó)隊(duì)先輸一局的情況下，中國(guó)隊(duì)本場(chǎng)比賽獲勝的概率．
（2）中國(guó)隊(duì)與美國(guó)隊(duì)比賽中，中國(guó)隊(duì)獲得積分X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出中國(guó)隊(duì)獲得積分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

解答 解：（1）∵根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，中國(guó)隊(duì)與美國(guó)隊(duì)的每局比賽中，中國(guó)隊(duì)獲勝的概率為$\frac{2}{3}$，
∴在中國(guó)隊(duì)先輸一局的情況下，中國(guó)隊(duì)本場(chǎng)比賽獲勝的概率：
p=$（\frac{2}{3}）^{3}$+${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）$=$\frac{16}{27}$．
（2）中國(guó)隊(duì)與美國(guó)隊(duì)比賽中，中國(guó)隊(duì)獲得積分X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$（\frac{1}{3}）^{3}+{C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{9}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）$=$\frac{16}{81}$，
P（X=3）=$（\frac{2}{3}）^{3}+{C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$（$\frac{2}{3}$）=$\frac{16}{27}$，
∴中國(guó)隊(duì)獲得積分X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{16}{81}$	$\frac{16}{27}$

EX=$0×\frac{1}{9}+1×\frac{8}{81}+2×\frac{16}{81}+3×\frac{16}{27}$=$\frac{184}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查中國(guó)隊(duì)獲得積分的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．