Question

已知函數(shù)f（x）=log_0.2（-x²+2x+3）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求f（x）的定義域
（2）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可判斷f（x）的單調(diào)性．
（3）利用換元法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性即可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則-x²+2x+3＞0，
即x²-2x-3＜0，即-1＜x＜3，
即f（x）的定義域?yàn)椋?1，3）．
（2）設(shè)t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
則函數(shù)t=-x²+2x+3在（-1，1]上單調(diào)遞增，u=log_0.2t單調(diào)遞減，
則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的性質(zhì)可知，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
則函數(shù)t=-x²+2x+3在（1，3）上單調(diào)遞減，u=log_at單調(diào)遞減，
則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的性質(zhì)可知，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，3），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1]．
（3）∵t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4∈（0，4]，
∴l(xiāng)og_0.2t≥log_0.24，
即y≥log_0.24，
即f（x）的值域[log_0.24，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)定義域，值域以及單調(diào)區(qū)間的求解，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，結(jié)合同增異減的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．