Question

函數(shù)f（x）=ln（x+m）+n的圖象在點（1，f（1））處的切線方程是y=x-1，函數(shù)g（x）=ax²+bx（a，b∈R，a≠0）在x=2處取極值-2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x+1）-g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)）在區(qū)間（t，t+

1

2

）（t＞-1）上沒有單調(diào)性，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x2-2x．
（Ⅱ）y=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），從而y′=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+m

，則f′(1)=

1

1+m

=1，
∴m=0，又f（1）=0，∴n=0，故函數(shù)f（x）=lnx
又g'（x）=2ax+b，
則

g′(2)=4a+b=0 g(2)=4a+2b=-2

，
解得

a= 1 2 b=-2

∴g(x)=

1

2

x2-2x．
（Ⅱ）y=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），
∴y′=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
由y'＞0，解得-1＜x＜0；由y'＜0，解得x＞0．
故該函數(shù)在區(qū)間（-1，0）上為增函數(shù)，
在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)．
又y=f（x+1）-g'（x）在區(qū)間(t，t+

1

2

)上沒有單調(diào)性，
則

t＜0 t+ 1 2 ＞0

，解得-

1

2

＜t＜0
故實數(shù)t的取值范圍是(-

1

2

，0)．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．