Question

設f（x）=ax³+bx²+cx的極小值為-8，其導函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過點（-2，0），（

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，0），如圖所示．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)導數(shù)圖象以及函數(shù)的極小值，建立方程關系即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求出函數(shù)f（x）在x∈[-3，3]上的最小值即可得到結論．

解答： 解（1）∵f′(x)=3ax2+2bx+c，且y=f′(x)的圖象經(jīng)過點(-2，0)，(

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，0)，
∴

-2+ 2 3 =- 2b 3a -2× 2 3 = c 3a

⇒

b=2a c=-4a

，
∴f（x）=ax³+2ax²-4ax，
由圖象可知函數(shù)y=f(x)在(-∞，-2)上單調(diào)遞減，在(-2，

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)上單調(diào)遞增，在(

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，+∞)上單調(diào)遞減，由f(x)極小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8，解得a=-1，
∴f（x）=-x³-2x²+4x由（1）得f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x+2）（x-2），
∴f′(x)=0，則x=-2或x=

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x	（-∞，-2）	-2	(-2， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	-8	單調(diào)遞增	40 27	單調(diào)遞減

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，-2)和( 2 3 ，+∞)，單調(diào)遞增在區(qū)間是(-2， 2 3 )， 極小值是-8，極大值是 40 27 ．

（2）要使對x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f(x)min≥m2-14m即可．
由（1）可知函數(shù)y=f(x)在[-3，-2)上單調(diào)遞減，在(-2，

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)上單調(diào)遞增，在(

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，3]上單調(diào)遞減且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8，
∴f（x）_min=f（3）=-33-33≥m²-14m⇒3≤m≤11
故所求的實數(shù)m的取值范圍為{m|3≤m≤11}．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)，極值和導數(shù)之間的關系，利用數(shù)形結合或者方程思想是解決本題的關鍵．