Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x³-ax．
（1）求曲線f（x）在點(diǎn)（l，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）若對(duì)任意x∈（0，+∞），總存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由切線定義，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)在x=1處值，即切線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；
（2）由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性求出函數(shù)的最大值；
（3）由f（x₁）≤g（x₂）恒成立，等價(jià)于f（x₁）_min≤g（x₂）_max，即存在x∈[1，2]，使得x³-ax≥0?a≤（x²）_max=4，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-x+1（x＞0），∴f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
∴f′（1）=0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：曲線f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線的斜率為0，又f（1）=0，故所求切線方程為y=0．
（2）由（1）知：f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0．∴f（x）≤f（1）=0，∴f（x）的最大值為0．
（3）依題意地f（x₁）_min≤g（x₂）_max，其中x₁∈（0，+∞），x₂∈[1，2]，
由（2）知f（x₁）_max=f（1）=0
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：存在x∈[1，2]，使得x³-ax≥0?a≤（x²）_max=4，其中x∈[1，2]，
∴a≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的在某點(diǎn)處的切線方程，求函數(shù)的最值，運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想求參數(shù)．屬于中檔題．