Question

10．拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點(diǎn)A，過(guò)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是（　　）

• A． 4
• B． $3\sqrt{3}$
• C． $4\sqrt{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 先判斷△AHF為等邊三角形，求出A的坐標(biāo)，可求出等邊△AHF的邊長(zhǎng)AH的值，△AHF的面積可求．

解答 解：由拋物線的定義可得AF=AH，∵AF的斜率等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴AF的傾斜角等于30°，∵AK⊥l，
∴∠FAK=60°，故△AHF為等邊三角形．又焦點(diǎn)F（0，1），AF的方程為 y-1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
設(shè)A（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），m＞0，由AF=AH 得$\frac{{m}^{2}}{4}-1=2$，
∴m=2$\sqrt{3}$，故等邊三角形△AHF的邊長(zhǎng)AH=4，
∴△AKF的面積是 $\frac{1}{2}$×4×4sin60°=4$\sqrt{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷△AKF為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．