Question

6．如圖，B、C是海岸線l上相距50km的兩個海邊小城，圓O是半徑為10km的某海島小城的環(huán)島路，A為圓O上的物資中轉(zhuǎn)站，其中∠AOC=$\frac{2}{3}$π，OC=25km，且l∥OA，為使中轉(zhuǎn)站A的物資運往B城，計劃從A地沿環(huán)島路至某地P，再沿水路PQ至海岸線l上Q，最后沿海岸線QB至B城修建運輸線，其中PQ∥OC，Q在線段BC上．
（1）設∠POC=θ，求運輸線總長度y關(guān)于θ的函數(shù)；
（2）求運輸線總長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）設∠POC=θ，求出$\widehat{AP}$=10（$\frac{2}{3}$π-θ），PQ=25-10cosθ-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$sinθ，CQ=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$sinθ，即可求運輸線總長度y關(guān)于θ的函數(shù)；
（2）利用導數(shù)求運輸線總長度的最小值．

解答 解：（1）由題意，$\widehat{AP}$=10（$\frac{2}{3}$π-θ），PQ=25-10cosθ-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$sinθ，CQ=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$sinθ，
∴y=10（$\frac{2}{3}$π-θ）+25-10cosθ-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$sinθ+50-$\frac{20\sqrt{3}}{3}$sinθ=$\frac{20π}{3}$+75-10θ-10cosθ-10$\sqrt{3}$sinθ（0＜θ＜$\frac{2}{3}$π）；
（2）y′=-10+10sinθ-10$\sqrt{3}$cosθ=0，
∴20sin（θ-$\frac{π}{3}$）=10，
∴θ=$\frac{π}{2}$，
∴0＜θ＜$\frac{π}{2}$，函數(shù)單調(diào)遞減，$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{2}{3}$π，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴θ=$\frac{π}{2}$，運輸線總長度y最小，最小值為$\frac{10π}{3}$+75-10$\sqrt{3}$（km）．

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．