Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{m}{x}$（x∈R）在區(qū)間[1，e]上的最小值為4，則m=-3e．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分m的范圍討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，利用最小值等于4求m的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{m}{x}$的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}+\frac{m}{{x}^{2}}$．
當(dāng)m≥0，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=-m=4，m=-4，矛盾舍去；
當(dāng)m＜0時，
若x∈（0，-m），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
若x∈（-m，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
∴f（-m）=ln（-m）+1為極小值，也是最小值；
①當(dāng)-m＜1，即-1＜m＜0時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-m=4，得m=-4（矛盾）；
②當(dāng)-m＞e，即m＜-e時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
f（x）_min=f（e）=1-$\frac{m}{e}$=4，解得m=-3e．
③當(dāng)-1≤-m≤e，即-e≤m≤-1時，f（x）在[1，e]上的最小值為f（-m）=ln（-m）+1=4．
此時m=-e³＜-e（矛盾）．
綜上m=-3e．
故答案為：-3e．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答的關(guān)鍵是正確分類，是中檔題．