Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2S_n=3a_n-3，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=$\frac{1}{{{{log}_3}{a_{3n-1}}{{log}_3}{a_{3n+2}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）求出數(shù)列的首項(xiàng)，利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式即可．
（2）利用裂項(xiàng)法，求解數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）依題意，當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=2a₁=3a₁-3，故a₁=3．當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n=3a_n-3，2S_n-1=3a_n-1-3，兩式相減整理得a_n=3a_n-1，
故${a_n}={3^n}$…（6分）
（2）${b_n}=\frac{1}{{{{log}_3}{a_{3n-1}}{{log}_3}{a_{3n+2}}}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．
故${T_n}=\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）=\frac{n}{2（3n+2）}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，掌握熟練求和的方法是解題的關(guān)鍵．