Question

17．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“勾股圈方圖”巧妙的證明了勾股定理，成就了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，后人稱之為“趙爽弦圖”．他是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形中較小的銳角記為θ，大正方形的面積為25，小正方形的面積為1，則$sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}$=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形θ對(duì)應(yīng)的邊為x，另一邊為y．可得2xy+1=25，x²+y²=25，從而解得x，y的值，sinθ=$\frac{x}{5}$

解答 解：由題意，設(shè)直角三角形θ對(duì)應(yīng)的邊為x，另一邊為y．
可得2xy+1=25，x²+y²=25，
解得x=3，y=4，
則sinθ=$\frac{x}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∵銳角記為θ，
那么：令$sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}$=M＞0．
則1+sinθ=M²，
∴M²=$\frac{8}{5}$，
∴M=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，即$sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}$=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$
故答案為：$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等變換及化簡(jiǎn)求值，半角公式的靈活運(yùn)用，是中檔題．