Question

【題目】已知函數f（x）=9x﹣3x+1+c（其中c是常數）．
（1）若當x∈[0，1]時，恒有f（x）＜0成立，求實數c的取值范圍；
（2）若存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（3x）2﹣3×3x+c，令3x=t，當x∈[0，1]時，t∈[1，3]．

問題轉化為當t∈[1，3]時，g（t）=t2﹣3t+c＜0恒成立．

于是，只需g（t）在[1，3]上的最大值g（3）＜0，即32﹣3×3+c＜0，解得c＜0．

∴實數c的取值范圍是（﹣∞，0）

（2）解：若存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0，則存在t∈[1，3]，使g（t）=t2﹣3t+c＜0．

于是，只需g（t）在[1，3]上的最小值 ＜0，即 ，解得 ．

∴實數c的取值范圍是

【解析】（1）令3x=t把函數換元，化為關于t的二次函數，利用函數的單調性求出函數的最大值，由最大值小于0得答案；（2）由（1）中二次函數的最小值小于0求解c的范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數在閉區(qū)間上的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，當時，；當時在上遞減，當時，．