Question

設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈．區(qū)域D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線的距離之積為2．記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．過點(diǎn)F(2，0)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．若以線段AB為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率．

Answer 1

解：由題意可知，平面區(qū)域D如圖陰影所示．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(，y)，

則即．由PD知+y >0，－y <0，即^2－y²<0

所以，即曲線C的方程為．

設(shè)A()，B()，則以線段AB為直徑的圓的圓心為Q()．

因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓L與y軸相切，所以半徑r=，

即|AB|=：    ①

    因?yàn)橹本�AB過點(diǎn)F(2，0)，

當(dāng)AB⊥軸時(shí)，不合題意．

所以設(shè)直線AB的方程為y=k(－2)．

    代人雙曲線方程得，

    ，即．

    因?yàn)橹本�與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，所以≠±1．

    所以,

    所以|AB|=

           =

           =

           =

化簡(jiǎn)得：，

解得(不合題意，舍去)．

由△=(4)²－4(²一1)(8²－4)

        =3 ²－1>0，

又由于y>0，

所以一1<<一．所以=－