Question

在正三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，且BC=1，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為

6

6

．

Answer 1

分析：利用等邊三角形的性質(zhì)可得BO，DF．利用中線長(zhǎng)定理可得DE，再利用勾股定理可得DF²=DE²+EF²，
AO²=AB²-BO²，即可得出．

解答：解：如圖所示，作AO⊥平面BCD，則點(diǎn)O為底面BCD的中心．
∵△BCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∴BO=

2

3

×

3

2

=

3

3

，DF=

3

2

．
設(shè)AB=2x，利用中線長(zhǎng)定理可得DE2=

1

2

(AD2+BD2-

AB2

2

)=

1

2

(1+2x2)．
∵EF⊥DE，∴EF²+DE²=DF²．
∵EF=

1

2

AC=x，∴x2+

1

2

(1+2x2)=(

3

2

)2，化為4x2=

1

2

．
∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BO．
∴AO=

AB2-BO2

=

(2x)2-( 3 3 )2

=

1 2 - 1 3

=

6

6

．
故答案為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、中線長(zhǎng)定理、中位線定理、勾股定理等是解題的關(guān)鍵．