Question

【題目】為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校組織了一次實(shí)地測量活動，如圖，假設(shè)待測量的樹木AE的高度H（m），垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（D，C，E三點(diǎn)共線），試根據(jù)上述測量方案，回答如下問題：

（1）若測得α=60°、β=30°，試求H的值；
（2）經(jīng)過分析若干次測得的數(shù)據(jù)后，大家一致認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到樹木的距離d（單位：m），使α與β之差較大時(shí)，可以提高測量精確度．
若樹木的實(shí)際高度為8m，試問d為多少時(shí)，α﹣β最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABE中可得AD= ，

在Rt△ADE中可得AB= ，BD= ，

由AD﹣AB=DB，故得 ，

得：H= = =6．

因此，算出的樹木的高度H是6m．

（2）解：由題設(shè)知d=AB，得tanα= ，tanβ= = = ，

tan（α﹣β）= = = =

= ，（當(dāng)且僅當(dāng)d= ）時(shí)，取等號）

故當(dāng)H=8時(shí)，d=4 ，tan（α﹣β）最大．

因?yàn)?＜β＜α＜ ，則0＜α﹣β＜ ，所以當(dāng)d=4 時(shí)，α﹣β最大．

【解析】1、由題意可知，在Rt△ABE中可得AD= , 在Rt△ADE中可得AB=, BD= ，根據(jù),即可得到H的值。
2、先用d分別表示出和，利用兩角和的正切公式求得tan（α﹣β），整理成基本不等式的形式，再根據(jù)基本不等式求出最大值α﹣β。