Question

已知定點(diǎn)M(0,2)，N(－2,0)，直線l：kx－y－2k＋2＝0(k為常數(shù))．
(1)若點(diǎn)M，N到直線l的距離相等，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)對于l上任意一點(diǎn)P，∠MPN恒為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）k＝1或k＝
（2）k∈(－∞，－)∪(1，＋∞)

解：(1)∵點(diǎn)M、N到直線l的距離相等，
∴直線l平行于MN所在的直線或過MN的中點(diǎn)，
∴k＝1或k＝．
(2)設(shè)l上任意一點(diǎn)P(x₀，kx₀－2k＋2)．
若∠MPN恒為銳角，則·>0，
即(x₀，kx₀－2k)·(x₀＋2，kx₀－2k＋2)>0，
∴x₀²＋2x₀＋(kx₀－2k)²＋2kx₀－4k>0，
∴(1＋k²)x₀²＋(2k－4k²＋2)x₀＋4k²－4k>0對x₀∈R恒成立，
∴Δ＝(2k－4k²＋2)²－4(k²＋1)(4k²－4k)<0，
即－7k²＋6k＋1<0，∴k>1或k<－，
即k∈(－∞，－)∪(1，＋∞)．