Question

【題目】如圖，在底面為等邊三角形的斜三棱柱中， ，四邊形為矩形，過作與直線平行的平面交于點.

(1)證明: ；

(2)若直線與底面所成的角為，求二面角的余弦值 .

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接交于點，連接，推導(dǎo)出，由四邊形為平行四邊形，得為的中位線，從而為的中點，由此能證明；

（2）過作平面，垂足為，連接，以為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

解:(1)如圖，

連接交于點，連接.

因為平面平面，平面

平面，所以.

又四邊形為平行四邊形，

所以為的中點，所以為的中位線，所以為的中點.

又為等邊三角形，所以.

(2)過作平面，垂足為，連接，設(shè)，

則.

因為直線與底面所成的角為，所以.

在中，因為，

所以，.

為平面平面，

所以，

四邊形為矩形，所以，

因為，所以.

因為平面平面，所以

平面.

因為平面，所以.

又為等邊三角形，所以為的中點.

以為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

則，，，.

因為，

所以，

因為，

所以，

，，

.

設(shè)平面的法向量為.

由，得，

令，得，

所以平面的一個法向量為.

設(shè)平面的法向量為，

由，得，

令，得，

所以平面的一個法向量為.

所以，

因為所求二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.