Question

（本小題滿分12分）已知二次函數(shù).

（1）若，且對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，求的表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求g（x）最小值.

Answer 1

（1）,

（2）若時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值；

若時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值；

若時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值；

【解析】

試題分析：第一問：二次函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，要求對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，只需要求拋物線與軸無交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)，即.第二問是求含參二次函數(shù)的最大值與最小值問題，由于二次項(xiàng)系數(shù)為1，開口向上，對(duì)稱軸的位置與有關(guān)，所以針對(duì)對(duì)稱軸的三種不同位置加以分類研究，求出相應(yīng)的最小值。

試題解析：（1）[法一]依題意有得：.......?，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031506180173392153/SYS201503150618260473869398_DA/SYS201503150618260473869398_DA.023.png">對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，說明二次函數(shù)的圖象拋物線的開口向上，與軸相離或相切，即........?，把?代入?得：，即：，所以只能；這時(shí).則

[法二]依題意有得：.......?，

又的最小值為，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031506180173392153/SYS201503150618260473869398_DA/SYS201503150618260473869398_DA.023.png">對(duì)任意實(shí)數(shù)都有成立，則，，即.........?,

將?代入?得：，則

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031506180173392153/SYS201503150618260473869398_DA/SYS201503150618260473869398_DA.001.png">，所以=

拋物線開口向上，對(duì)稱軸方程為

?若，即時(shí)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值

?若，即時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，取得最小值；

?若，即時(shí)，在上是減函數(shù),當(dāng)時(shí)，取得最小值；

考點(diǎn)：1.一元二次不等式恒成立；2.二次函數(shù)的最大值與最小值；3.分類討論思想解題