Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b²
（1）若-2≤a≤4，-2≤b≤4（a，b∈Z），求等式f（x）＞0的解集為R的概率；
（2）若|a|≤1，|b|≤1，求等式f（x）＞0的解集為R的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)字，共有49種結(jié)果，滿(mǎn)足條件的事件是不等式f（x）＞0的解集為R，即a²≥4b²，列舉出所有的事件數(shù)，根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果．
（2）由已知|a|≤1，|b|≤1，我們可以求出（a，b）對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積，若不等式f（x）＞0的解集為R，即a²-4b²＜0，即|a|＜|2b|，我們也可以求出滿(mǎn)足條件的平面區(qū)域的面積，代入幾何概型概率公式，即可求出答案．

解答：解：（1）滿(mǎn)足條件的不等式共有49個(gè)
不等式解集為R的條件是a²-4b²＜0
a=-2時(shí)b=-2，2，3，4
a=-1時(shí)b=-2，-1，1，2，3，4
a=0時(shí)b=-2，-1，1，2，3，4
a=1時(shí)b=-2，-1，1，2，3，4
a=2時(shí)b=-2，2，3，4
a=3時(shí)b=-2，2，3，4
a=4時(shí)b=3，4
所以滿(mǎn)足等式f（x）＞0的解集為R的不等式有32個(gè)
故等式f（x）＞0的解集為R的概率是

32

49

；
（2）點(diǎn)（a，b）滿(mǎn)足的區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，
面積為4，不等式f（x）＞0解集為R的條件是△=a²-4b²＜0

即

a+2b＞0 a-2b＜0

或

a+2b＜0 a-2b＞0

∴當(dāng)f（x）＞0解集為R時(shí)，點(diǎn)（a，b）的區(qū)域如圖（陰影部分），
其面積為4-2×

1

2

×|x|=3
∴不等式f（x）＞0解集為R的概率P=

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，考查一元二次方程的解，考查列舉法的應(yīng)用，是一個(gè)綜合題目，本題解題的關(guān)鍵是弄清楚一元二次方程解的情況．幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、含面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)．解決的步驟均為：求出滿(mǎn)足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=N（A）/N求解，屬中檔題．