Question

設(shè)0≤x≤1，求函數(shù)f（x）=4^x+（1-2a）2^x+1+a²的最小值m．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用配方法化簡f（x）=4^x+（1-2a）2^x+1+a²=（2^x）²+2（1-2a）2^x+a²=（2^x+1-2a）²-3a²+4a-1，從而討論求函數(shù)的求最小值．

解答： 解：f（x）=4^x+（1-2a）2^x+1+a²
=（2^x）²+2（1-2a）2^x+a²
=（2^x+1-2a）²-3a²+4a-1，
①當(dāng)1-2a≤-2，即a≥

3

2

時(shí)，
f（x）在x=1處有最小值，
m=f（1）=4+4（1-2a）+a²=a²-8a+8；
②當(dāng)-2＜1-2a＜-1，即1＜a＜

3

2

時(shí)，
m=f_min（x）=-3a²+4a-1，
③當(dāng)1-2a≥-1，即a≤1時(shí)，
m=f（0）=a²-4a+3．
綜上所述，m=

a2-8a+8，a≥ 3 2 -3a2+4a-1，1＜a＜ 3 2 a2-4a+3，a≤1

．

點(diǎn)評：本題考查了配方法求函數(shù)的最值及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．