設(shè)n∈N*,不等式組
x>0
y>0
y≤-nx+2n
所表示的平面區(qū)域為Dn,把Dn內(nèi)的整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)按其到原點的距離從近到遠排列成點列:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn
(1)求(xn,yn);
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=x1,an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
),(n≥2)
,求證:n≥2時,
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
;
(3)在(2)的條件下,比較(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)
與4的大。
分析:(1)由-nx+2n>0及x>0得0<x<2,因為x∈N*,所以x=1,從而x=1與y=-nx+2n的交點為(1,n),即所以Dn內(nèi)的整點(xn,yn)為(1,n)
(2)先化簡為
an
n2
=
1
1
2
 
+
1
2
2
 
+…+
1
(n-1
)
2
 
,兩式相減即可證得
(3)先猜想:n∈N*時,(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)<4
,再利用(2)的結(jié)論可以證明.
解答:解:(1)由-nx+2n>0及x>0得0<x<2,因為x∈N*,所以x=1
又x=1與y=-nx+2n的交點為(1,n),所以Dn內(nèi)的整點,按由近到遠排列為:
(1,1),(1,2),…,(1,n)------------------(4分)
(2)證明:n≥2時,an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)=n2(
1
1
2
 
+
1
2
2
 
+…+
1
(n-1
)
2
 
)

所以
an
n2
=
1
1
2
 
+
1
2
2
 
+…+
1
(n-1
)
2
 
,
an+1
(n+1)2
=
1
1
2
 
+
1
2
2
 
+…+
1
n
2
 

兩式相減得:
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
------------------(9分)
(3)n=1時,1+
1
a1
=2<4
,n=2時,(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)=
5
2
<4

可猜想:n∈N*時,(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)<4
------------------(11分)
事實上n≥3時,由(2)知
1+an
a
 
n+1
=
n2
(n+1
)
2
 

所以(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)=
1+a1
a1
1+a2
a2
1+a3
a3
•…•
1+an
an

=
1+a1
a1
1
a2
•[
1+a2
a3
1+a3
a4
•…•
1+an-1
an
]•(1+an)

=2•
1
4
•(
2
3
)2•(
3
4
)2•…•(
n-1
n
)2•(
n
n+1
)2an+1

=
2an+1
(n+1)2
=2(
1
12
+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
) …(13分)

<2[1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)×n
]

=2(1+1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n-1
-
1
n
)<4
-----(15分)
點評:本題以線性規(guī)劃為載體,考查數(shù)列、不等式的證明,應(yīng)注意充分挖掘題目的條件,合理轉(zhuǎn)化
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(1)求(xn,yn);

(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=x1,an=yn2(++…+)(n≥2),求證:n≥2時,;

(3)在(2a)的條件下,比較(1+)(1+)…(1+)與4的大小.

 

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(1)求(xn,yn);
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足,求證:n≥2時,;
(3)在(2)的條件下,比較與4的大。

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(1)求(xn,yn);
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足,求證:n≥2時,
(3)在(2)的條件下,比較與4的大。

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