設n∈N*，不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn，把Dn內的整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）按其到原點的距離從近到遠排列成點列：(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn).

（1）求(xn,yn)；

（2）設數(shù)列{an}滿足a1=x1,an=yn2(++…+)(n≥2),求證：n≥2時，；

（3）在（2a）的條件下，比較(1+)(1+)…(1+)與4的大小.

 

解:（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因為x∈N*，所以x=1.

又x=1與y=-nx+2n的交點為(1,n)，所以Dn內的整點，按由近到遠排列為：

（1，1），（1，2），…，(1,n).

（2）證明：n≥2時，an=yn2(+…+)=n2［++…+］.

所以=++…+，=++….

兩式相減得=.

（3）n=1時，1+=2＜4，n=2時，(1+)(1+)=＜4.

可猜想：n∈N*時，(1+)(1+)…(1+)＜4,

事實上n≥3時，由（2）知.

所以(1+)(1+)…(1+)=···…·

=··(··…·)·(1+an)

=2··()2·()2·…·()2·()2·an+1

==2(+++…+)

＜2［1+++…+］=2(1+1++…+)＜4.


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y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面區(qū)域為Dn，把Dn內的整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）按其到原點的距離從近到遠排列成點列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）設數(shù)列{an}滿足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求證：n≥2時，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的條件下，比較(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)與4的大小．

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設n∈N*，不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn，把Dn內的整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）按其到原點的距離從近到遠排列成點列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）設數(shù)列{an}滿足，求證：n≥2時，；
（3）在（2）的條件下，比較與4的大小．

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（1）求（xn，yn）；
（2）設數(shù)列{an}滿足，求證：n≥2時，；
（3）在（2）的條件下，比較與4的大�。�

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