Question

函數(shù)f（x）=

x2+1

+

x2-6x+10

的性質(zhì)：
①f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形；
②f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形；
③函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

13

，+∞）；
④方程f（f（x））=1+

10

有兩個(gè)解，上述關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)說法正確的是（　　）

• A、①③
• B、③④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,推理和證明

分析：①因?yàn)楹瘮?shù)不是奇函數(shù)，所以錯(cuò)誤．②利用函數(shù)對(duì)稱性的定義進(jìn)行判斷．③利用兩點(diǎn)之間線段最短證明．④利用函數(shù)的值域進(jìn)行判斷．

解答： 解：①因?yàn)閒（-x）=

x2+1

+

x2+6x+10

≠-f（x），所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，所以錯(cuò)誤．
②因?yàn)閒（3-x）=

(3-x)2+1

+

(3-x)2-6(3-x)+10

=

x2+1

+

x2-6x+10

，所以f（x）的圖象關(guān)于x=

3

2

對(duì)稱，所以②正確．
③由題意值f（x）≥f（

3

2

），而f（

3

2

）=

13

2

+

13

2

=

13

，所以f（x）≥

13

，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

13

，+∞），正確．
④設(shè)f（x）=t，則方程f[f（x）]=1+

10

，等價(jià)為f（t）=1+

10

，即t=0，或t=3．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）≥

13

，所以當(dāng)t=0或t=3時(shí)，不成立，所以方程無解，所以④錯(cuò)誤．
故正確的說法為：②③
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，考查學(xué)生的分析能力．