Question

如圖，已知F₁、F₂分別為橢圓C₁：的上、下焦點，其中F₁也是拋物線C₂：的焦點，點A是曲線C₁，C₂在第二象限的交點，且

（Ⅰ）求橢圓₁的方程；

（Ⅱ）已知P是橢圓C₁上的動點，MN是圓C：的直徑，求的最大值和最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；

（Ⅱ）當(dāng)時，，當(dāng)時，。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）拋物線C₂的焦點F₁（0，1），準(zhǔn)線，易得 ∴ 

∴  （正值舍去）∴              3分

又 ………①   …………②            5分

聯(lián)立①②得∴橢圓C₁的方程為              6分

（Ⅱ）圓C：    ∴圓心C（-2，0），半徑

設(shè)P（）              7分

法一：               9分

        11分

當(dāng)時，           12分

當(dāng)時，       13分

法二：設(shè)M（），則N（）            8分

      

           11分

當(dāng)時，           12分

當(dāng)時，         13分

法三：              8分

     

∵C是MN中點，∴          9分

∴               10分

∴

            11分

當(dāng)時，              12分

當(dāng)時，             13分

考點：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運算。

點評：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）利用平面向量的坐標(biāo)運算，將問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題，確定最值。