Question

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x（噸）與每噸產(chǎn)品的價(jià)格P（元/噸）之間的關(guān)系式為P=24200-

1

5

x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R=50000+200x（元）．
（1）求該工廠月利潤L（元）關(guān)于月生產(chǎn)量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式；（月利潤=月收入-月成本）
（2）求該工廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使月利潤達(dá)到最大？并求出最大利潤．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)月利潤=月收入-月成本可知L=Px-R，代入解析式即可求出所求；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值時(shí)相應(yīng)的x的值及其最值．

解答：解：（1）L=Px-R=（24200-

1

5

x2）x-（50000+200x）
=-

1

5

x3+24000x-50000（x＞0）
（2）y′=-

3

5

x2+24000，
由y'=0，得x=200
∵0＜x＜200時(shí)y'＞0，y'＜0
∴當(dāng)x=200時(shí)，y_max=3150000（元）
該工廠每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品才能使月利潤達(dá)到最，最大利潤為3150000．

點(diǎn)評：本題主要考查了建立數(shù)學(xué)模型，三次函數(shù)的最值用導(dǎo)數(shù)來求解，同時(shí)考查了應(yīng)用題的閱讀能力，屬于中檔題．