Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+2ⁿ+n，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由遞推式利用累加法即可求得a_n，注意檢驗(yàn)n=1時(shí)的情形．

解答： 解：由a_n+1=a_n+2ⁿ+n，得a_n+1-a_n=2ⁿ+n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₂-a₁=2+1，a₃-a₂=2²+2，…，a_n-a_n-1=2^n-1+n-1，
以上各式相加，得a_n-a₁=（2+2²+…+2^n-1）+（1+2+…+n-1）=

2(1-2n-1)

1-2

+

(n-1)n

2

=2ⁿ-2+

(n-1)n

2

，
又a₁=1，∴a_n=2ⁿ+

n2-n-2

2

，
a₁=1適合該式，
∴a_n=2ⁿ+

n2-n-2

2

．
故答案為：a_n=2ⁿ+

n2-n-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)，累加法是求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法，要熟練掌握，注意其使用特征．