【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E是PD的中點.
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)設AP=1,AD= ,三棱錐P﹣ABD的體積V= ,求A到平面PBC的距離.
(3)在(2)的條件下求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:設BD和AC交于點O,連接EO.
∵ABCD為矩形,∴O為BD的中點.
又∵E為PD的中點,∴EO∥PB
∵EO平面AEC,PB平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
(2)解:VP﹣ABD= PAABAD= AB.由V= ,可得AB=
作AH⊥PB交PB于H.
由BC⊥AB,BC⊥PA,知BC⊥平面PAB.
∴BC⊥AH,故AH⊥平面PBC.
又AH= = .
∴A到平面PBC的距離為 .
(3)解:由(2)可知:AH⊥平面PBC.
∴∠APH為直線AP與平面PBC所成角
在Rt△APH中,AH= ,AP=1,
∴sin∠APH= = .
∴直線AP與平面PBC所成角的正弦值為 .
【解析】(1)設BD和AC交于點O,連接EO.運用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理,即可得證;(2)運用棱錐的體積公式,求得AB,作AH⊥PB交PB于H,證得AH⊥平面PBC,運用直角三角形PAB中面積相等,可得AH的長,即為所求;(3)推得∠APH為直線AP與平面PBC所成角,在Rt△APH中,運用正弦函數(shù)的定義,計算即可得到所求值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間角的異面直線所成的角的相關知識,掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設 是奇函數(shù),則( )
A. ,且f(x)為增函數(shù)
B.a=﹣1,且f(x)為增函數(shù)
C. ,且f(x)為減函數(shù)
D.a=﹣1,且f(x)為減函數(shù)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象關于原點對稱,其中為常數(shù).
(1)求的值;
(2)當時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若關于的方程在上有解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于區(qū)間,若函數(shù)同時滿足:①在上是單調(diào)函數(shù);②函數(shù), 的值域是,則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間.
()求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間.
()函數(shù)是否存在“保值”區(qū)間?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)﹣x2在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個實數(shù)p,q,且p≠q,不等式 恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.[15,+∞)
B.
C.[1,+∞)
D.[6,+∞)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},則UP=( )
A.[ ,+∞)
B.(0, )
C.(0,+∞)
D.(﹣∞,0)∪( ,+∞)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的兩頂點坐標A(﹣1,0),B(1,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=1(從圓外一點到圓的兩條切線段長相等),動點C的軌跡為曲線M.
(I)求曲線M的方程;
(Ⅱ)設直線BC與曲線M的另一交點為D,當點A在以線段CD為直徑的圓上時,求直線BC的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:
①定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1),則f(x)一定不是R上的減函數(shù);
②用反證法證明命題“若實數(shù)a,b,滿足a2+b2=0,則a,b都為0”時,“假設命題的結論不成立”的敘述是“假設a,b都不為0”.
③把函數(shù)y=sin(2x+ )的圖象向右平移 個單位長度,所得到的圖象的函數(shù)解析式為y=sin2x.
④“a=0”是“函數(shù)f(x)=x3+ax2(x∈R)為奇函數(shù)”的充分不必要條件.
其中所有正確命題的序號為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】命題p:方程 + =1表示雙曲線;命題q:x∈R,使得x2+mx+m+3<0成立.若“p且¬q”為真命題,求實數(shù)m的取值范圍.
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