Question

1．如圖，PA⊥平面ADE，B，C分別是AE，DE的中點，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．
（Ⅰ）求二面角A-PE-D的余弦值；
（Ⅱ）點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長．

Answer 1

分析 以{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$}為正交基底建立空間直角坐標系Axyz，由題意可得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
（Ⅰ）易得$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0）是平面PAB的一個法向量，待定系數(shù)可求平面PED的法向量為$\overrightarrow{m}$坐標，由向量的夾角公式可得；
（Ⅱ）設$\overrightarrow{BQ}$=λ$\overrightarrow{BP}$=（-λ，0，2λ）（0≤λ≤1），由夾角公式和二次函數(shù)的值域以及余弦函數(shù)的單調性可得．

解答 解：以{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$}為正交基底建立空間直角坐標系Axyz，
則各點的坐標為B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
（Ⅰ）∵AD⊥平面PAB，∴$\overrightarrow{AD}$是平面PAB的一個法向量，$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0）．
∵$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2）．設平面PED的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PC}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PD}$=0，即$\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=0\\ 2y-2z=0.\end{array}\right.$，令y=1，解得z=1，x=1．
∴$\overrightarrow{m}$=（1，1，1）是平面PCD的一個法向量，
計算可得cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•m}{|\overrightarrow{AD}||m|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角A-PE-D的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，2），設$\overrightarrow{BQ}$=λ$\overrightarrow{BP}$=（-λ，0，2λ）（0≤λ≤1），
又$\overrightarrow{CB}$=（0，-1，0），則$\overrightarrow{CQ}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BQ}$=（-λ，-1，2λ），又$\overrightarrow{DP}$=（0，-2，2），
∴cos＜$\overrightarrow{CQ}$，$\overrightarrow{DP}$＞=$\frac{\overrightarrow{CQ}•\overrightarrow{DP}}{|\overrightarrow{CQ}||\overrightarrow{DP}|}$=$\frac{1+2λ}{\sqrt{10λ^2+2}}$，設1+2λ=t，t∈[1，3]，
則cos²＜$\overrightarrow{CQ}$，$\overrightarrow{DP}$＞=$\frac{2{t}^{2}}{5{t}^{2}-10t+9}$=$\frac{2}{9（\frac{1}{t}-\frac{5}{9}）^{2}+\frac{20}{9}}$≤$\frac{9}{10}$，
當且僅當t=$\frac{9}{5}$，即λ=$\frac{2}{5}$時，|cos＜$\overrightarrow{CQ}$，$\overrightarrow{DP}$＞|的最大值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
因為y=cosx在（0，$\frac{π}{2}$）上是減函數(shù)，此時直線CQ與DP所成角取得最小值，
又∵BP=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∴BQ=$\frac{2}{5}$BP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

點評 本題考查向量法解決立體幾何問題，建系并把問題轉化為向量的夾角和模長是解決問題的關鍵，屬中檔題．