Question

11．已知圓C：x²+y²+4x-6y-3=0．
（1）求過(guò)點(diǎn)M（-6，-5）的圓C的切線方程；
（2）過(guò)點(diǎn)N（1，3）作直線與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求△ABC的最大面積及此時(shí)直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由圓的方程求出圓心和半徑，易得點(diǎn)M在圓外，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=3．當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，寫出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出k，可得切線方程．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，△ABC的面積S=3$\sqrt{7}$，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，圓心（-2，3）到直線AB的距離d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，線段AB的長(zhǎng)度|AB|=2$\sqrt{16-9txftjf^{2}}$，由此能求出△OAB的最大面積和此時(shí)直線AB的斜率．

解答 解：（1）圓C：x²+y²+4x-6y-3=0，即（x+2）²+（y-3）²=16，表示以（-2，3）為圓心，半徑等于4的圓．
由于點(diǎn)M（-6，-5）到圓心的距離等于$\sqrt{（-2+6）^{2}+（3+5）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，大于半徑4，故點(diǎn)M在圓的外部．
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=-6符合題意．
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y+5=k（x+6），即kx-y+6k-5=0，
所以，圓心到切線的距離等于半徑，即$\frac{|-2k-3+6k-5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，解得k=$\frac{3}{4}$，此時(shí)，切線為3x-4y-2=0．
綜上可得，圓的切線方程為x=-6，或3x-4y-2=0．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，x=1，y=3±$\sqrt{7}$，△ABC的面積S=3$\sqrt{7}$
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，
圓心（-2，3）到直線AB的距離d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
線段AB的長(zhǎng)度|AB|=2$\sqrt{16-97lffrv^{2}}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\sqrt{rpplfvx^{2}（16-hhp5ntf^{2}）}$≤$\frac{jtj5vbf^{2}+（16-v1dtttd^{2}）}{2}$=8
當(dāng)且僅當(dāng)d²=8時(shí)取等號(hào)，此時(shí)$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，解得k=±2$\sqrt{2}$．
所以，△OAB的最大面積為8，此時(shí)直線AB的斜率為±2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，具體涉及到圓的基本性質(zhì)和圓的切線方程、三角形最大面積的求法和直線的斜率等知識(shí)點(diǎn)，注意切線的斜率不存在的情況，屬于中檔題．