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沿海地區(qū)某農村在2002年底共有人口1480人,全年工農業(yè)生產總值為3180萬元.從2003年起計劃10年內該村的總產值每年增加60萬元,人口每年凈增a人,設從2003年起的第x年(2003年為第一年)該村人均產值為y萬元.
(1)寫出y與x之間的函數關系式;
(2)為使該村的人均產值年年都有增長,那么該村每年人口的凈增不能超過多少人?
【答案】分析:(1)據人均產值=,列出y與x的關系
(2)法一是利用單調遞增函數的定義,設出有大小的兩自變量得到其函數值的大小,列出不等式求出a的范圍.
方法二是先將函數分離常數,再利用函數是增函數,得到分子小于0,列出不等式求出a的范圍.
解答:(1)解:依題意得第x年該村的工農業(yè)生產總值為(3180+60x)萬元,
而該村第x年的人口總數為(1480+ax)人,
∴y=(1≤x≤10).
(2)解法一:為使該村的人均產值年年都有增長,則在1≤x≤10內,y=f(x)為增函數.
設1≤x1<x2≤10,則
f(x1)-f(x2)=-
=
=
∵1≤x1<x2≤10,a>0,
∴由f(x1)<f(x2),得88800-3180a>0.
∴a<≈27.9.又∵a∈N*,∴a=27.
解法二:∵y=
=[1+],
依題意得53-<0,∴a<≈27.9.
∵a∈N*,∴a=27.
答:該村每年人口的凈增不能超過27人.
點評:本小題主要考查函數知識、函數的單調性,考查數學建模,運用所學知識解決實際問題的能力.
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