Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4|x|+2，若f（x）在區(qū)間[a，2a+1]上的最大值為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，令f（x）=2可得 x=-4，或x=0，或 x=4，當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，應(yīng)有2a+1≥0，當(dāng)a＞0時(shí)，應(yīng)有2a+1=4，從而求出a的范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²-4|x|+2是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱． 
且f（x）=

x2-4x+2，x≥0 x2+4x+2，x＜0

，
令f（x）=2可得 x=-4，或x=0，或 x=4．
若f（x）在區(qū)間[a，2a+1]上的最大值為2，
∴a＜2a+1，解得a＞-1．
當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，應(yīng)有2a+1≥0，由此求得-

1

2

≤a≤0．
當(dāng)a＞0時(shí)，應(yīng)有2a+1=4，解得 a=

3

2

．
綜上可得，a的取值范圍為[-

1

2

 0]∪{

3

2

}，
故答案為[-

1

2

，0]∪{

3

2

}．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，偶函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．